Funciones por tramos (a trozos)
Ahora se da una mirada a otro tipo de función las cuales están presentes en las mayorías de los casos, en los que se paga una factura, dichas funciones son llamadas funciones por tramos, a trozos o por partes.
Una función por tramos, es una función la cual está definida de distinta maneras para distintos valores de su dominio especificado. La función por tramos o por partes más simple es la función valor absoluto la cual se define como,
$$f(x)\left\{\begin{array}
-x, \ \ \ \ {\rm si}\ x\ne0\\
~x, \ \ \ \ {\rm si}\ x\ge0
\end{array}\right.$$
Es muy probable que ya se esté familiarizado con esta función, al resolver ecuaciones con valor absoluto, sin embargo, en el diario vivir las funciones a trozos son mucho más común de lo que se puede llegar a pensar. En el ejemplo cinco de la sección # se evalúa la función por tramos
$$f(t)=\left\{\begin{array}1
400~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~t=0~~~~~~\\
400+1.75t~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si} ~ 0< t≤100\\
575+1.25(t-100)~~~~~~\mathrm{si}~ 100< t~~~~~~~~~~~~\\
\end{array}\right.$$
la cual produjo para \(t=90;\ t=100\) y \(t=201\) los valores
$$\left\{ \begin{array}i
f(90)=400+1.75(90)=557.5~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(100)=400+1.75(100)=575~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(201)=575+1.25(201-100)=701.25
\end{array}\right.$$
Este es un ejemplo sencillo de una función por tramos, en el cual puede ser pensado como la factura de una compañía telefónica en la que el tiempo \(t\) se mide en minutos. cuya descripción verbal es la siguiente.
Se paga un cargo fijo de $400 por el derecho (contrato) a tener la línea telefónica. Si la cantidad de minutos consumidos en un mes está entre cero y cien, se paga el cargo fijo $400 más $1.75 por cada minuto consumido. Si la cantidad de minutos consumidos en un mes es mayor a cien, se paga $575 más $.125 por minuto por cada minuto después de los cien.
Ejemplo. Factura eléctrica. La factura eléctrica para el mes de agosto del 2024 de la distribuidora eléctrica del Sur (EDESUR) para un consumo mayor a los cien kilowatt en la categoría BTS1 donde \({\rm k}W{\rm h}\) es un kilowatt hora está dada por,
$$C({\rm kWh})=\left\{\begin{array}i
128.59~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm si}~ {\rm kWh}=0\\
128.59+6.05{\rm kWh}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0< {\rm kWh}\le 200\\
1338.59+8.59\left({\rm kWh}-200\right)~~~~~~201\le {\rm kWh}\le300\\
2197.59+12.89({\rm kWh}-300)~~~~~~301\le {\rm kWh}\le700\\
7353.59+13.09({\rm kWh}-700)~~~701< {\rm kWh}~~~~~~~~~\\
\end{array} \right.$$
a. Describa de manera escrita cómo funciona la tarifa.
b. ¿Cuánto se debe pagar por un contrato cuyo consumo es, \(150{\rm kWh}\), \(350{\rm kWh~~y~~} 1000{\rm kWh}\)?
c. ¿Cuántos kilowatt hora consumió un contrato al cual se le ha facturado un total de $4131.09?
Solución: la tarifa posee un cargo fijo por \($128.59\), si el kilowatt hora consumido está entre cero y dos cientos su preció es \($6.05,\) si está entre \(201\) y \(300\) su precio es \($8.59,\) si está entre \(301\) y \(700\) su precio es \($12.89\) y si es mayor a \(701\) su precio es \($13.09\) (a mayor consumo el kilowatt hora es más caro). Cada uno de los tramos especifica cuanto se debe pagar según el consumo, así un consumo de exactamente \(300\) kilowatt hora debe pagar \($2197.59\)
Para la parte b: evaluando la función en el tramo correspondiente.
\begin{align}
C\left(150\right)&=128.59+6.05(150)=1036.09\\
C\left(350\right)&=2197.59+12.89\left(350-300\right)=2842.09\\
C\left(1000\right)&=7353.59+13.09\left(1000-700\right)=11280.59\end{align}
Parte c: como de \($2197.59 <$4131.09 <$7353.59\) corresponde a un valor del cuarto tramo, así que,
\begin{align}
&2197.59+12.89\left(kWh-300\right)=4131.09\\
&kWh=\frac{4131.09-2197.09}{12.89}+300=450\end{align}
Fuente: https://www.edesur.com.do/enlaces-empresa/tarifa-electrica/ agosto 07 del 2024.
Ejemplo. Precio de boletas. el salon de fiesta "Serie dos" con capacidad para 300 personas establece el precio de la entrada cada día en función del número de asistentes que se prevé habrá en dicho día, según la expresión,
$$f(x)=\left\{\begin{array}i
1000 \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm si}\ 0< x\le 100\\
1140-x \ \ \ \ \ \ {\rm si}\ 100< x < 200\\
\frac{2100-x}{2} \ \ \ \ \ \ {\rm si}\ 201\le x\le 300\end{array}\right.$$
Se pide determinar:
¿Cuál es el precio de una entrada si se espera que asistan 90 personas? ¿Y si son 180? ¿Y si se espera que se agoten las entradas?
¿Cuántas personas deberían asistir para que el precio de la entrada supere los $925?
Solución: para la parte a, se evalúa la función en el tramo correspondiente,
\begin{align}
f\left(90\right)&=1000\\
f\left(180\right)&=1150-180=970\\
f\left(300\right)&=\frac{2100-300}{2}=900\end{align}
Para la parte b, se iguala el tercer tramo a $925.
\begin{align}
&\frac{2100-x}{2}=925\\
&2100-x=2(925)\\
&2100-x=1850\\
&x=2100-1850\\
&x=250\end{align}
Así que deben asistir mínimo 250 personas si se desea que el precio de la boleta no supere los $925.
Hasta ahora solo sean presentado algunos ejemplos de funciones por tramos en la cual cada tramo es un polinomio, sin embargo, se pueden tener funciones por tramos las cuales no sean polinómicas ya que estas pueden adoptar diversas estructuras matemáticas, como se verá a continuación.
Ejemplo Una función irracional. Evaluar la función por partes,
$$f(x)=\left\{\begin{array}i
x^2+10 \ \ \ \ \ {\rm si} \ x< 0\\
\sqrt{x}+10 \ \ \ \ {\rm si} x\ge 0
\end{array}\right.$$
para \(x=-20\) y \(x=100.)
Solución: evaluando \(x=-20\) en el primer tramo y \(x=100\) en el segundo.
$$f\left(-20\right)=\left(-20\right)^2+10=410 \ {\rm y} \ f\left(100\right)=\sqrt{100}+10=20.$$
Ejemplo. Una función por parte con tramos racionales. Evaluar en los puntos \(x_0=2\) y \(x_0=3\) la función por parte.
$$f(x)=\left\{\begin{array}i
\frac{x^2+x-6}{x^2+3x-10} \ \ \ \ {\rm si}\ x≤2\\
\frac{x^2+x-6}{3x^2-5x-2}\ \ \ \ {\rm si}\ x\ge2\\
\end{array}\right.$$
Solución: \(f(2)\) está definido en el primer tramo, esto es,
$$f\left(x\right)=\frac{2^2+2-6}{2^2+3(2)-10}=\frac{0}{0}$$
por tanto, \(f(2)\) no existe.
\(f(3)\) está definida en el segundo tramo, de donde,
$$f(3)=\frac{3^2+3-6}{3{(3)}^2-5(3)-2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$
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Dominio de la función por tramo.
El dominio de una función por tramos (a trozos) está constituido por la unión de los sud-dominios válidos para cada tramo.
Ejemplo. Determinar el dominio de la función, $$f(t)=\left\{\begin{array}1 t=400~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~t=0~~~~~~\\ 400+1.75t~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si} ~ 0< t≤100\\ 575+1.25(t-100)~~~~~~\mathrm{si}~ 100< t~~~~~~~~~~~~\\ \end{array}\right.$$ Solución: note que, aunque todos los tramos están definidos por polinomios ninguno de los tramos define la función para valores negativos de \(t\) por lo que, $${\rm dom}\ f\left(t\right)=\{t|t\in\mathbb{R}\land t\geq0\}$$
Ejemplo. Determinar el dominio de la función por tramos $$\left\{\begin{align} &2x+5~~~~~~~~\mathrm{si}~~ x < 0\\ &\sqrt{3x-5}~~~~~\mathrm{si}~~0 ≤x < 100\\ &\frac{1}{x+3}~~~~~~~~~\mathrm{si}~~100 ≤ x\\ \end{align}\right. $$ De la manera en que \(f(x)\) está definida, se tienen los intervalos \(\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,100\right)\cup\left(100,\infty\right)\), de donde se debe examinar cada uno de estos intervalos para determinar si es necesario o no excluir algún otro valor.
El primer tramo \(f_1(x)\) es un polinomio entero-racional así que no existe ninguna restricción en su dominio.
En el segundo tramo \(f_2(x)\) es una expresión irracional de índice par, de donde \(3x-5\geq0\Longrightarrow x\geq 5/3\) por tanto, se debe modificar el intervalo \(\left(0,100\right)\) excluyendo aquellos valores que no cumplen la condición, de donde se tiene el intervalo \((5/3,100)\).
En el tercer tramo \(f_3(x)\) es una función racional, en la cual \(x=3\) hace cero al denominador, pero \(x=3\) no pertenece a \(\left(100,\infty\right)\) por lo que no es necesario modificar el intervalo, y por tanto,
$${\rm dom} f(x)=\left(-\infty,0\right)\cup\left(\frac{5}{3},100\right)\cup\left(100,\infty\right)$$
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